[ A = \text{diag}(1, 1, \ldots, 1) ]

令 ( P(x) = x^ )，即 ( P(x) = 1 ) 对所有 ( x ) 都成立。

计算 ( P(A) )：

[ P(A) = A^ = I_ ]

( I_ ) 是n阶单位矩阵。

考虑矩阵 ( A - \lambda I_ )：

[ A - \lambda I = I - \lambda I = (1 - \lambda)I ]

计算 ( P(A - \lambda I_) )：

[ P(A - \lambda I) = (A - \lambda I)^ = I_ ]

计算 ( P(\lambda) )：

[ P(\lambda) = \lambda^ = 1 ]

考虑 ( P(\lambda)^N )：

[ P(\lambda)^N = 1^N = 1 ]

代入行列式公式：

[ \det(P(A)) = \sum{k=}^\infty P(A - k\lambda I)^{-1} P(\lambda)^N \det(B_k) ]

( Bk = (A - k\lambda I)^{-1} (A - \lambda I)^{-1} (A - k\lambda I)^{-1} )。

由于 ( A - k\lambda I = (1 - k\lambda)I )，其逆矩阵为 ( 1/(1 - k\lambda)I_ )。

( Bk = (1/(1 - k\lambda))^3 I )，其行列式为：

[ \det(B_k) = (1/(1 - k\lambda))^3 ]

代入行列式公式：

[ \det(P(A)) = \sum_{k=}^\infty 1 \cdot 1 \cdot (1/(1 - k\lambda))^3 ]

当 ( k ) 趋近于无穷大时，级数发散，

[ \det(P(A)) = \infty ]

最终答案：

[ \boxed{\infty} ]